Как работает GPS: спутники не знают, где вы

Коротко: спутники GPS никого не отслеживают. Около 30 из них, примерно в 20 200 км над Землёй, с атомными часами на борту, передают, где они находятся и который час. Ваш телефон только слушает: задержка каждого сигнала, умноженная на скорость света, — это расстояние, три расстояния сходятся в одной точке, а четвёртый спутник поправляет куда менее точные часы телефона. Из-за теории относительности часы спутников спешат, поэтому их настраивают ещё до запуска. В итоге смартфон под открытым небом определяет положение с точностью около 4,9 м.

Спутники ничего не отслеживают

Из FAQ на gps.gov: "GPS satellites themselves do not track anything on the ground. They are simply beacons, like lighthouses, broadcasting one-way reference signals." («Сами спутники GPS ничего на земле не отслеживают. Это просто радиомаяки, подобные маякам на берегу, которые передают односторонние опорные сигналы».)

Около 30 спутников на высоте 20 200 км

gps.gov о космическом сегменте: "the U.S. Space Force has been flying 31 operational GPS satellites for well over a decade" («Космические силы США уже значительно больше десяти лет держат на орбите 31 действующий спутник GPS») и "GPS satellites fly in medium Earth orbit (MEO) at an altitude of approximately 20,200 km (12,550 miles). Each satellite circles the Earth twice a day." («Спутники GPS летают по средней околоземной орбите (MEO) на высоте около 20 200 км (12 550 миль). Каждый спутник облетает Землю дважды в сутки».)

На каждом стоят "multiple atomic clocks that contribute very precise time data to the GPS signals" («несколько атомных часов, которые дают сигналам GPS очень точные данные о времени»), а сигналы "give the current GPS satellite position and time" («сообщают текущее положение спутника GPS и время»).

Задержка × скорость света = расстояние

ESA: "The signal emitted from each satellite is a microwave radio wave containing the time it was transmitted and the satellite's current orbital position." («Сигнал каждого спутника — это микроволновая радиоволна, которая содержит время её отправки и текущее положение спутника на орбите».) С расстояния 20 200 км сигнал идёт около 0,067 с (наш расчёт: 20 200 км ÷ 299 792 км/с), и эта задержка, умноженная на скорость света, и есть расстояние.

Три расстояния сходятся на вас, четвёртый спутник поправляет часы

Снова ESA: "Three are used to 'trilateralise' (the three-dimensional equivalent of triangulation) the user's longitude, latitude and altitude and a fourth to determine the time offset between the (precise) satellite clock and the (less precise) clock embedded within the receiver." («Три используются для „трилатерации“ (трёхмерного аналога триангуляции) долготы, широты и высоты пользователя, а четвёртый — для определения сдвига времени между (точными) часами спутника и (менее точными) часами, встроенными в приёмник».)

Часы важны: ошибка в миллионную долю секунды — это около 300 м (наш расчёт: 299 792 км/с × 10⁻⁶ с).

Поправка Эйнштейна

На орбите часы спутников уходят вперёд примерно на 38 микросекунд в сутки. Р. Погге (Университет штата Огайо): "by about 38 microseconds per day (45-7=38)!" («примерно на 38 микросекунд в сутки (45-7=38)!»). Н. Эшби (Living Reviews in Relativity, 2003) приводит итоговое смещение −4,4647 × 10⁻¹⁰: "the standard clock in orbit is beating too fast" («эталонные часы на орбите идут слишком быстро»). Поэтому перед запуском часы замедляют: настраивают на 10,22999999543 МГц вместо 10,23 МГц.

Эшби в Physics Today (2002): "If these relativistic effects were not corrected for, satellite clock errors building up in just one day would cause navigational errors of more than 11 km, quickly rendering the system useless." («Если бы эти релятивистские эффекты не учитывались, ошибки часов спутников, накопившиеся всего за один день, привели бы к навигационным ошибкам более 11 км, и система быстро стала бы бесполезной».)

Около пяти метров

gps.gov: "GPS-enabled smartphones are typically accurate to within a 4.9 m (16 ft.) radius under open sky… However, their accuracy worsens near buildings, bridges, and trees." («Смартфоны с GPS под открытым небом обычно определяют положение с точностью до радиуса 4,9 м (16 футов)… Однако рядом со зданиями, мостами и деревьями их точность ухудшается».)

Вывод

1. GPS работает в одну сторону: спутники передают, ваш телефон слушает.
2. Время — это расстояние: задержки от четырёх спутников определяют, где вы находитесь и в какой момент.
3. Эйнштейн важен: часы спутников настраивают с учётом теории относительности ещё до запуска.

Источники

• gps.gov: FAQ, Space Segment, GPS and telling time, GPS accuracy
• ESA, How satellite navigation works
• N. Ashby, "Relativity and the Global Positioning System", Physics Today 55(5), май 2002 года; "Relativity in the Global Positioning System", Living Reviews in Relativity 6:1, 2003
• R. Pogge, "Real-World Relativity: The GPS Navigation System", Ohio State University

Видео анимировано кодом, а сценарий написан с помощью ИИ; каждая цитата выше сверена с источником, а две цифры с пометкой «наш расчёт» посчитаны нами. Условно показано: спутники, импульсы сигнала и сферы расстояний (нарисованы кругами). Видео озвучено на английском. Сделано в Shotloop — моём бесплатном Mac-приложении для объясняющих видео из кода, которые правятся по одной сцене за раз.