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Kurz gesagt: GPS-Satelliten orten niemanden. Rund 30 von ihnen kreisen in etwa 20.200 km Höhe, tragen Atomuhren an Bord und senden, wo sie sind und wie spät es ist. Dein Handy hört nur zu: Die Verzögerung jedes Signals mal Lichtgeschwindigkeit ergibt eine Entfernung, drei Entfernungen treffen sich in einem Punkt, und ein vierter Satellit korrigiert die weit weniger genaue Uhr des Handys. Die Uhren der Satelliten gehen wegen der Relativität vor, deshalb werden sie vor dem Start abgestimmt. Am Ende ist ein Smartphone unter freiem Himmel auf etwa 4,9 m genau.
Die Satelliten orten nichts
Aus den FAQ von gps.gov: „GPS satellites themselves do not track anything on the ground. They are simply beacons, like lighthouses, broadcasting one-way reference signals.“ (GPS-Satelliten selbst orten nichts am Boden. Sie sind bloß Baken, wie Leuchttürme, die Referenzsignale in nur eine Richtung aussenden.)
Rund 30 Satelliten in 20.200 km Höhe
gps.gov über das Weltraumsegment: „the U.S. Space Force has been flying 31 operational GPS satellites for well over a decade“ (die U.S. Space Force betreibt seit weit über einem Jahrzehnt 31 einsatzfähige GPS-Satelliten), und „GPS satellites fly in medium Earth orbit (MEO) at an altitude of approximately 20,200 km (12,550 miles). Each satellite circles the Earth twice a day.“ (GPS-Satelliten fliegen in einer mittleren Erdumlaufbahn (MEO) in etwa 20.200 km (12.550 Meilen) Höhe. Jeder Satellit umkreist die Erde zweimal am Tag.)
Jeder trägt „multiple atomic clocks that contribute very precise time data to the GPS signals“ (mehrere Atomuhren, die sehr genaue Zeitdaten zu den GPS-Signalen beitragen), und die Signale „give the current GPS satellite position and time“ (geben die aktuelle Position des GPS-Satelliten und die Zeit an).
Verzögerung × Lichtgeschwindigkeit = Entfernung
Die ESA: „The signal emitted from each satellite is a microwave radio wave containing the time it was transmitted and the satellite's current orbital position.“ (Das Signal jedes Satelliten ist eine Mikrowellen-Funkwelle, die den Zeitpunkt ihrer Aussendung und die aktuelle Bahnposition des Satelliten enthält.) Aus 20.200 km Entfernung braucht ein Signal etwa 0,067 s (unsere Rechnung: 20.200 km ÷ 299.792 km/s), und diese Verzögerung mal Lichtgeschwindigkeit ist die Entfernung.
Drei Entfernungen treffen sich bei dir, eine vierte richtet die Uhr
Noch einmal die ESA: „Three are used to 'trilateralise' (the three-dimensional equivalent of triangulation) the user's longitude, latitude and altitude and a fourth to determine the time offset between the (precise) satellite clock and the (less precise) clock embedded within the receiver.“ (Drei dienen dazu, Längengrad, Breitengrad und Höhe des Nutzers zu ‚trilaterieren‘ (das dreidimensionale Gegenstück zur Triangulation), ein vierter dazu, den Zeitversatz zwischen der (genauen) Satellitenuhr und der (weniger genauen) Uhr im Empfänger zu bestimmen.)
Die Uhr zählt: Eine Millionstelsekunde Fehler macht etwa 300 m aus (unsere Rechnung: 299.792 km/s × 10⁻⁶ s).
Einsteins Korrektur
Im Orbit gehen die Uhren der Satelliten etwa 38 Mikrosekunden am Tag vor. R. Pogge (Ohio State): „by about 38 microseconds per day (45-7=38)!“ (um etwa 38 Mikrosekunden pro Tag (45-7=38)!). N. Ashby (Living Reviews in Relativity, 2003) gibt den Nettoversatz mit −4,4647 × 10⁻¹⁰ an: „the standard clock in orbit is beating too fast“ (die Normaluhr im Orbit tickt zu schnell). Deshalb werden die Uhren vor dem Start langsamer gestellt, auf 10,22999999543 MHz statt 10,23 MHz.
Ashby in Physics Today (2002): „If these relativistic effects were not corrected for, satellite clock errors building up in just one day would cause navigational errors of more than 11 km, quickly rendering the system useless.“ (Würden diese relativistischen Effekte nicht korrigiert, führten die Fehler der Satellitenuhren schon nach einem einzigen Tag zu Navigationsfehlern von mehr als 11 km und machten das System schnell unbrauchbar.)
Etwa fünf Meter
gps.gov: „GPS-enabled smartphones are typically accurate to within a 4.9 m (16 ft.) radius under open sky… However, their accuracy worsens near buildings, bridges, and trees.“ (GPS-fähige Smartphones sind unter freiem Himmel typischerweise auf einen Radius von 4,9 m (16 Fuß) genau … In der Nähe von Gebäuden, Brücken und Bäumen wird ihre Genauigkeit jedoch schlechter.)
Fazit
- GPS läuft nur in eine Richtung: Die Satelliten senden, dein Handy hört zu.
- Zeit ist Entfernung: Die Verzögerungen von vier Satelliten bestimmen, wo du bist und wann.
- Einstein zählt: Die Uhren der Satelliten werden vor dem Start auf die Relativität abgestimmt.
Quellen
- gps.gov: FAQ, Space Segment, GPS and telling time, GPS accuracy
- ESA, How satellite navigation works
- N. Ashby, "Relativity and the Global Positioning System", Physics Today 55(5), Mai 2002; "Relativity in the Global Positioning System", Living Reviews in Relativity 6:1, 2003
- R. Pogge, "Real-World Relativity: The GPS Navigation System", Ohio State University
Das Video ist mit Code animiert, und das Skript entstand mit KI-Unterstützung; jedes Zitat oben ist an seiner Quelle geprüft, und die zwei mit „unsere Rechnung“ markierten Zahlen stammen von uns. Illustrativ: die Satelliten, die Signalimpulse und die Entfernungskugeln (als Kreise gezeichnet). Das Video ist auf Englisch vertont. Gemacht mit Shotloop, meiner kostenlosen Mac-App für Erklärvideos aus Code, korrigiert Shot für Shot.