要点： GPS 衛星は誰も追跡していません。原子時計を積んだ約 30 機の衛星が、高度およそ 20,200 km から、自分がどこにいて今が何時かを発信しています。スマートフォンは聞いているだけです。それぞれの信号の遅れに光の速さを掛ければ距離になり、3 つの距離が 1 点で交わります。4 機目の衛星は、スマートフォンのずっと精度の低い時計を補正します。衛星の時計は相対論の効果で進んでしまうため、打ち上げ前に調整されています。空が開けた場所なら、スマートフォンの誤差はおよそ 4.9 m 以内に収まります。
衛星は何も追跡していない
gps.gov の FAQ より："GPS satellites themselves do not track anything on the ground. They are simply beacons, like lighthouses, broadcasting one-way reference signals."（GPS 衛星そのものは地上の何も追跡していない。灯台のような標識にすぎず、一方向の基準信号を発信している。）
約 30 機、高度 20,200 km
gps.gov は宇宙セグメントについてこう書いています："the U.S. Space Force has been flying 31 operational GPS satellites for well over a decade"（米宇宙軍は 10 年以上にわたり、31 機の運用中の GPS 衛星を飛ばしている）、そして "GPS satellites fly in medium Earth orbit (MEO) at an altitude of approximately 20,200 km (12,550 miles). Each satellite circles the Earth twice a day."（GPS 衛星は高度約 20,200 km（12,550 マイル）の中軌道（MEO）を飛んでいる。各衛星は 1 日に 2 回地球を回る。）
各衛星は "multiple atomic clocks that contribute very precise time data to the GPS signals"（GPS 信号に非常に正確な時刻データを与える複数の原子時計）を積んでおり、信号は "give the current GPS satellite position and time"（GPS 衛星の現在の位置と時刻を伝える）。
遅れ × 光の速さ = 距離
ESA："The signal emitted from each satellite is a microwave radio wave containing the time it was transmitted and the satellite's current orbital position."（各衛星から発せられる信号はマイクロ波の電波で、送信された時刻と衛星の現在の軌道上の位置を含んでいる。）20,200 km 先からの信号は届くまでに約 0.067 秒かかり（私たちの計算：20,200 km ÷ 299,792 km/s）、その遅れに光の速さを掛けたものが距離です。
3 つの距離があなたで交わり、4 機目が時計を直す
再び ESA："Three are used to 'trilateralise' (the three-dimensional equivalent of triangulation) the user's longitude, latitude and altitude and a fourth to determine the time offset between the (precise) satellite clock and the (less precise) clock embedded within the receiver."（3 機は利用者の経度・緯度・高度を「三辺測量」（三角測量の 3 次元版）するのに使われ、4 機目は（正確な）衛星の時計と受信機に組み込まれた（精度の低い）時計との時刻のずれを求めるのに使われる。）
時計は重要です。100 万分の 1 秒の誤差は約 300 m になります（私たちの計算：299,792 km/s × 10⁻⁶ s）。
アインシュタインの補正
軌道上では、衛星の時計は 1 日に約 38 マイクロ秒進みます。R. Pogge（オハイオ州立大学）："by about 38 microseconds per day (45-7=38)!"（1 日あたり約 38 マイクロ秒（45-7=38）！）N. Ashby（Living Reviews in Relativity、2003 年）は正味のずれを −4.4647 × 10⁻¹⁰ としています："the standard clock in orbit is beating too fast"（軌道上の標準時計は速く刻みすぎている）。そこで時計は打ち上げ前に遅く設定され、10.23 MHz ではなく 10.22999999543 MHz に合わせられます。
Ashby は Physics Today（2002 年）でこう書いています："If these relativistic effects were not corrected for, satellite clock errors building up in just one day would cause navigational errors of more than 11 km, quickly rendering the system useless."（これらの相対論的効果を補正しなければ、わずか 1 日でたまる衛星の時計の誤差が 11 km を超える測位誤差を生み、システムはすぐに役に立たなくなる。）
およそ 5 メートル
gps.gov："GPS-enabled smartphones are typically accurate to within a 4.9 m (16 ft.) radius under open sky… However, their accuracy worsens near buildings, bridges, and trees."（GPS 対応のスマートフォンは、空が開けた場所では通常、半径 4.9 m（16 フィート）以内の精度がある……ただし、建物や橋、木の近くでは精度が落ちる。）
まとめ
- GPS は一方向です。衛星が発信し、スマートフォンが聞くだけです。
- 時間は距離です。4 機の衛星からの遅れで、あなたがどこにいるか、そして今が何時かが決まります。
- アインシュタインが効いています。衛星の時計は打ち上げ前に相対論に合わせて調整されます。
出典
- gps.gov: FAQ, Space Segment, GPS and telling time, GPS accuracy
- ESA, How satellite navigation works
- N. Ashby, "Relativity and the Global Positioning System", Physics Today 55(5), May 2002; "Relativity in the Global Positioning System", Living Reviews in Relativity 6:1, 2003
- R. Pogge, "Real-World Relativity: The GPS Navigation System", Ohio State University
動画はコードでアニメーションを作り、台本は AI の手を借りて書きました。上の引用はすべて出典で確認しています。「私たちの計算」と記した 2 つの数字は私たち自身の計算です。衛星、信号のパルス、距離の球（円として描いています）はイメージです。動画のナレーションは英語です。制作には Shotloop を使いました。コードで解説動画をつくり、1 ショットずつ直せる、私の無料 Mac アプリです。